Como obtemos os dígitos de Pi?

Que métodos são utilizados para obter os dígitos do Pi?

O número Pi é a constante matemática que representa a relação entre extensão da circunferência de um círculo e seu diâmetro. Por isto sempre que dividimos a extensão de qualquer circunferência entre seu diâmetro, sempre obtemos como resultado o mesmo número: Pi.

Este é um dos poucos objetos matemáticos reconhecidos pelo grande público e, apesar de ser conhecido há milhares anos, ele ainda é fonte de pesquisas em diversas áreas. Suas propriedades continuam a ser investigadas e novos métodos para calcular seu valor seguem sendo apresentados. O Pi aparece em todas as fórmulas de linhas ou corpos curvos e nos casos mais inesperados, podendo ser usado em áreas que vão da estatística à Mecânica Quântica.

Alguns métodos de cálculo
São conhecidos quatro métodos principais para o cálculo dos dígitos de Pi:

Obtenção da extensão da circunferência por meio de polígonos de n-lados inscritos o circunscritos.

Mediante a utilização de séries estatísticas.

Através de procedimentos analíticos e geométricos.

Por meio de ordenadores (IBM1620 Universidade de Deusto).

São exemplos dos métodos anteriores o Algoritmo de John Wallis - Pi= 2 ( 2/1 x 2/3 x 4/3 x 4/5 x 6/5 x 6/7 ....) - o Algoritmo Gottfried Wilhem von Leibniz - Pi = 4(1/1-1/3+1/5-1/7+1/9...) - e o método Georges Luis Leclerc Buffon. Com este último se obtém o Pi com pouca aproximação. Seu fundamento consiste em lançar quatro palitos sobre duas linhas. Estes palitos devem ter o comprimento da metade da distância entre as linhas. Se um palito cair sobre ou atravessar uma das linhas se anota um ponto. Acumula-se o número de pontos de 25 lançamentos e se divide entre 100, o que deverá das algo como 3,1. Os métodos mais precisos são os softwares matemáticos, como o Mathematica, que pode obter 10 mil dígitos de Pi.

História do cálculo de Pi
O primeiro cálculo teórico do número Pi foi feito por Arquímedes de Siracusa. Arquímedes determinou que este número seria delimitado pela equação 223/71 < Pi < 22/7. Para isto ele se baseou no fato da largura da circunferência ter obrigatoriamente que estar compreendida entre o perímetro de um polígono regular que o circunscrevesse e outro que estivesse inscrito no mesma. O problema deste método é que ele converge muito lentamente ao Pi.

No Egito, davam ao Pi o valor de 3,1605 e na Babilônia somente 3. Os árabes, que tinham um verdadeiro arsenal de matemáticos, obtiveram 17 decimais exatos de Pi através de polígonos inscritos em uma circunferência. Estes cálculos foram realizados na primeira metade do século XV e levaram até a determinação do lado do polígono regular de 2832 Lados (Kashi). No Ocidente, encontramos referências a este número inclusive na Bíblia, onde ele recebe o valor de 3, como para os babilônicos.

Em 1947, dois norte-americanos - John W. Wrench, Jr y Levi B. Smith - chegaram aos 1120 decimais utilizando uma calculadora pré-eletrônica e a fórmula estabelecida por Wallis (1665). Posteriormente a quantidade de decimais extraídos para Pi foi aumentando a medida que a tecnologia dos microprocessadores foi avançando, até situar-se na assombrosa cifra de 51.539.600.000 decimais, recorde atingido por Yasumasa Kanada e Daisuke Takahashi, da Universidade de Tóquio.

Como nota curiosa, em 1983 Rajan Mahadevan foi capaz de recitar de memória 31811 decimais de Pi.

Por que é difícil calcular o PI?
Você deve estar se perguntando agora o que há de tão difícil em calcular o Pi. O problema é que estamos tratando com um número irracional, isto é que não pode ser expresso como fração entre números inteiros.

Se pudéssemos escrever o Pi como fração, na forma m/n, bastaria que definíssemos quais são os números inteiros m e n e, a partir disto, determinar a periodicidade de sua representação decimal. Por exemplo, se Pi fosse igual a 22/7 (3.142857 142857 142857 ...), precisaríamos apenas achar o valor da parte inteira, 3, e o bloco 142857 que se repete indefinidamente.

É verdade que existem irracionais de representação decimal previsível, e então fáceis de calcular, mas Pi é um irracional imprevisível: sua representação decimal não mostra nenhuma previsibilidade, sendo que acredita-se que seus algarismos se distribuam aleatoriamente.

 

Fonte: http://educaterra.terra.com.br/educacao/